LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE

<= Notes sur les pratiques techniques


Attitudes face à la logique:

Définitions de la logique:

Système de signes: éléments primaires du discours.

Enoncé: combinaisons des signes entre lesquels on établit des relations (e.g. par la copule « est »)

Syntaxe: code admis conventionnellement par un groupe, et par lequel se combinent les éléments du discours

Sémantique: règles de signification, par lesquelles on puisse dire si un énoncé, correct du point de vue de la syntaxe, est vrai ou faux. La vérité sémantique renvoie à une vérité d’un autre ordre, qui à la limite est la vérité de la science.

Classe: collection d’éléments à laquelle correspond au moins une propriété. Toute propriété définit une classe en compréhension. L’énumération des éléments définit une classe en extension. Dans la logique aristotélicienne les classes sont appelées des termes.

Compréhension: ensemble des propriétés communes aux objets qui entrent dans l’extension d’un concept.

Extension: ensemble des objets désignés par un concept.

Copule: élément qui dans une proposition, relie le sujet et le prédicat.

Modalité: (logique classique) propriété d’une proposition qui en modifie la copule de manière à affirmer la possibilité, l’impossibilité, la contingence ou la nécessité.

  1. assertorique: proposition énoncée à titre de simple fait
  2. problématique: prédication possible ou impossible
  3. apodictique: prédication nécessaire

Sujet: dans une proposition, terme dont on affirme ou nie quelque chose.

Prédicat: ce que l’on affirme ou nie d’un sujet.

Proposition: énoncé susceptible d’être dit vrai ou faux, c’est à dire considéré comme exprimant un jugement au moins virtuel, et plus spécialement comme partie d’un raisonnement.

Calcul des propositions: calcul de la valeur de vérité de propositions complexes formées par la connexion de propositions élémentaires, compte tenu de la valeur de vérité de celles-ci et du type de connexion logique.

Formalisation: création d’un langage artificiel utilisant des combinaisons de signes pris dans une liste préalablement fixée et soumise à une syntaxe inflexible, évitant toute ambiguïté. Tout recours à l’intuition est supprimé. Pour formaliser un système il faut :

  1. établir la liste des symboles nécessaires pour transcrire le système considéré
  2. énoncer des règles de formation permettant de construire, à l’aide de ces symboles, des expressions ; toute expression construite en respectant ces règles est dite expression bien formée (EBF)
  3. énoncer un certain nombre d’expressions posées comme valable et qui sont les axiomes du système.
  4. Enoncer des règles de dérivation qui permettent d’obtenir d’autres proposition valables à partir des axiomes ou de toute expression bien formée

Complétude: capacité de prouver que toute proposition correctement formée est vraie ou fausse.

Consistance: non contradiction des axiomes fondamentaux.

Problème de la décision: Ce problème, fondamental en logique, est de trouver une méthode générale pour savoir si un énoncé d’une théorie est démontrable ou pas, ce qui permettrait par exemple d’orienter certaines recherches ou les stopper.


Logique aristotélicienne (logique classique): Elle traite d’emboîtement de concepts au moyen de syllogismes (e.g. Socrate est un homme, or tous les hommes sont mortels, donc Socrate est mortel). C’est une logique des classes, qu’Aristote nomme terme.

Aristote partait de trois principes fondamentaux:

  1. principe d’identité: A est A
  2. de non contradiction: deux propositions contradictoires ne peuvent être vrai ou fausses en même temps
  3. tiers exclu: de deux propositions contradictoires, si l’une est vrai l’autre est fausse et réciproquement

Extension: l’extension d’un terme décrit la grandeur de la collection correspondante. On distingue :

  1. Terme singulier: extension égale à l’unité
  2. Terme multiples et finis: extension égale à un nombre entier déterminé
  3. Termes indéfinis: extension égale à un nombre entier non connaissable
  4. Termes infinis: extension infinie

Quand un terme x est inclus dans un terme y, x est dit espèce et y est dit genre. Le terme de plus grand extension possible est être.

Compréhension: ensemble de tous les caractères communs à tous les individus appartenant à la classe désignée par le terme. Plus l’extension d’un terme est grande, plus sa compréhension est petite et inversement. Un terme se définit par son genre prochain et sa différence spécifique.

Proposition: une proposition possède deux propriétés : sa qualité (affirmative ou négative) et sa quantité (universelle ou particulière). On obtient ainsi quatre propositions possibles:

  1. A: universelle affirmative (tout S est P)
  2. E: universelle négative (nul S n’est P)
  3. I: particulière affirmative (quelques S sont P)
  4. O: particulière négative (quelques S ne sont pas P)
Affirmatives Universelles A  contraires  Négatives Universelles E

Subalternes

Subalternes
Contradictoires
Affirmatives Particulières I  subcontraires  Négatives Particulières O

Oppositions:

  1. contradictoire: si une proposition P est vraie sa contradictoire est fausse et réciproquement (la vérité d’une proposition de type A entraîne la fausseté d’une proposition type O)
  2. contraires: la vérité d’une proposition entraîne la fausseté de l’autre, mais la réciproque n’est pas toujours vraie (attention à bien faire la distinction entre contradiction et contrariété)
  3. subalterne: on peut passer d’une universelle (A ou E) à une particulière (en I ou O) mais le passage inverse est impossible logiquement.
  4. de l’opposition des subcontraires on ne peut rien conclure.

Conversion: consiste à inverser le sujet et le prédicat. Celle-ci est possible sans changer la qualité ou la quantité à partir de propositions en E ou I ou si la proposition de départ est en A la converse est en I. dans le cas d’une proposition en O la converse est une proposition indéfinie en I (quelques x sont non y) sur laquelle on fait une conversion simple (quelques non y sont x).

Syllogisme: discours par lequel certaines choses étant posées, quelque chose d’autre en résulte du seul fait de ces données.

Tout y est z
Or tout x est y
Donc tout x est z

Les deux premières propositions constituent les prémisses, la dernière proposition constitue la conclusion. Le terme de plus grande extension est le grand terme (z), le terme d’extension intermédiaire est le moyen-terme (y), celui de plus petite extension est le petit terme (x).

Règles concernant les termes:
  1. il n’y a que trois termes et trois termes seulement dans un syllogisme
  2. le moyen terme ne doit jamais apparaître dans la conclusion
  3. le moyen terme doit être pris au moins une fois dans une proposition universelle (A ou E)
  4. les termes ne doivent pas avoir une plus grande extension dans la conclusion que dans les prémisses

Règles concernant les propositions:

  1. deux prémisses affirmatives donnent nécessairement une conclusion affirmative
  2. de deux prémisses négatives on ne peut rien conclure
  3. la conclusion suit toujours le sort de la prémisse la plus faible (particulière si elle particulière ou négative si elle est négative)
  4. de deux prémisses particulières on ne peut rien conclure

Modes du syllogisme: il existe 256 formes possibles de syllogismes. Parmi ceux ci seuls 24 respectent les règles cités plus haut : ce sont les modes concluant du syllogisme.

Ces modes concluants sont répartis en quatre figures suivant la place du moyen-terme dans les prémisses (sujet ou prédicat) ; chaque figure contient 6 modes:

Figure

Place du moyen terme dans

formule

La majeure

La mineure

I

Sujet

Prédicat

SP

II

Prédicat

prédicat

PP

III

sujet

Sujet

SS

IV

prédicat

sujet

PS


Figure

Modes

I

AAA

AAI

EAE

EAO

AII

EIO

II

EAE

EAO

AEE

AEO

EIO

AOO

III

AAI

IAI

AII

EAO

OAO

EIO

IV

AAI

AEE

AEO

IAI

EAO

EIO

Les modes en gras sont les plus puissants, les autres n’ayant guère d’intérêts.


Logique stoïcienne: Celle ci porte sur des implications de relations temporelles (e.g. si cette femme a du lait c’est qu’elle a enfanté), c’est à dire sur les rapports de nécessité entre un antécédent et un conséquent.

Pour les stoïciens il n’existe que des individus, le concept général est un mot vide, et c’est pour cela que leur logique ne traite pas d’emboîtements de concepts généraux.

Propositions stoïciennes:

Un raisonnement stoïcien est composé d’une majeur, d’une mineur et d’une conclusion (e.g. s’il fait jour il fait clair, or il fait jour, donc il fait clair) ; à noter que même s’il ressemble à un syllogisme aristotélicien, il s’en distingue comme étant une implication d’événements, et non de concepts.

Un raisonnement est concluant lorsqu’il conduit à une conclusion de façon spécifique (e.g. il est faux qu’il fasse à la fois jour et nuit, or il fait jour donc il ne fait pas nuit) ; ils sont non concluants lorsque le contraire de la conclusion ne s’oppose pas aux prémisses (e.g. s’il fait jour il fait clair, or il fait jour donc Dion se promène)


Calcul propositionnel: Les objets sont des propositions, notés p, q, r, etc. sur lesquelles on définit des opérations représentées par des opérateurs. Ces opération sur des propositions donnent d’autres propositions logiques. Une proposition peut être vraie ou fausse, mais ne peut être à la fois l’un et l’autre (principe du tiers exclu). On note:

Opérateurs: négation, conjonction, disjonction, implication et équivalence.

Opération

symbole

lecture du symbole

Négation

P barre

Non-p

Conjonction

p.q

p et q

Disjonction

p∨q

p ou q

implication

p⊃q

p implique q

équivalence

p≡q

p équivaut q

Tables de vérité:

P

Non p

1

0

0

1


p     q

p.q

p∨q

p⊃q

p≡q

1     1

1

1

1

1

1     0

0

1

0

0

0     1

0

1

1

0

0     0

0

0

1

1


Axiomatisation: Pour que le calcul logique constitue une théorie fermée, il faut le doter d’EBF fondamentales et de règles qui permettent:

  1. de reconnaître qu’une expression est une EBF
  2. de passer des axiomes à d’autres EBF, et de ces EBF à d’autres EBF (i.e. théorèmes)
  3. de démontrer un théorème

Plusieurs systèmes d’axiomes sont possibles. Il faut tenir compte de leur compatibilité, leur cohérence, leur indépendance, du caractère complet du système, etc.


Logique à plusieurs valeurs: Les logiques à deux valeurs supposent le principe du tiers exclu. On peut construire une logique à plusieurs valeurs (e.g. 3) qui nierait le principe du tiers exclu et introduirait à coté des valeurs vrai (1) et faux (0) une valeur ni vrai ni faux (1/2).


Logique des classes: cette logique part, comme la logique aristotélicienne, de classes d’objets, que l’on relie par la copule ‘est’ (prédication). Une proposition est alors l’affirmation ou la négation du rapport de prédication.

Variable: noté x, y, z, etc. elles ne forment pas en elles mêmes une classe

Fonction logique: expression faite d’éléments dont un au moins est une variable. Si x possède la propriété f: on écrit f(x) ; f(x) est une fonction propositionnelle. Toute les déterminations de la variable x qui vérifie f(x) forment un ensemble que l’on appelle une classe.

Extension d’une fonction propositionnelle: soit f(x), x ∈ D, f(x) peut définir les sous ensembles suivants sur D :

  1. si le sous ensemble est D en entier, nous sommes en présence de ce que la logique aristotélicienne aurait appelé une proposition universelle et on dit : pour tout x∈D, x possède la propriété f.
  2. si le sous ensemble de validité n’est ni D en entier, ni l’ensemble vide, on dit : il existe au moins un x pour lequel x possède la propriété f.
  3. si le domaine de validité est l’ensemble vide on dit : pour tout x∈D, x ne possède pas la propriété f.

On introduit de ce fait les quantificateurs universels (∀ ) et d’existence (∃)