<= Notes sur les pratiques techniques
Définitions de la logique:
Système de signes: éléments primaires du discours.
Enoncé: combinaisons des signes entre lesquels on établit des relations (e.g. par la copule « est »)
Syntaxe: code admis conventionnellement par un groupe, et par lequel se combinent les éléments du discours
Sémantique: règles de signification, par lesquelles on puisse dire si un énoncé, correct du point de vue de la syntaxe, est vrai ou faux. La vérité sémantique renvoie à une vérité d’un autre ordre, qui à la limite est la vérité de la science.
Classe: collection d’éléments à laquelle correspond au moins une propriété. Toute propriété définit une classe en compréhension. L’énumération des éléments définit une classe en extension. Dans la logique aristotélicienne les classes sont appelées des termes.
Compréhension: ensemble des propriétés communes aux objets qui entrent dans l’extension d’un concept.
Extension: ensemble des objets désignés par un concept.
Copule: élément qui dans une proposition, relie le sujet et le prédicat.
Modalité: (logique classique) propriété d’une proposition qui en modifie la copule de manière à affirmer la possibilité, l’impossibilité, la contingence ou la nécessité.
Sujet: dans une proposition, terme dont on affirme ou nie quelque chose.
Prédicat: ce que l’on affirme ou nie d’un sujet.
Proposition: énoncé susceptible d’être dit vrai ou faux, c’est à dire considéré comme exprimant un jugement au moins virtuel, et plus spécialement comme partie d’un raisonnement.
Calcul des propositions: calcul de la valeur de vérité de propositions complexes formées par la connexion de propositions élémentaires, compte tenu de la valeur de vérité de celles-ci et du type de connexion logique.
Formalisation: création d’un langage artificiel utilisant des combinaisons de signes pris dans une liste préalablement fixée et soumise à une syntaxe inflexible, évitant toute ambiguïté. Tout recours à l’intuition est supprimé. Pour formaliser un système il faut :
Complétude: capacité de prouver que toute proposition correctement formée est vraie ou fausse.
Consistance: non contradiction des axiomes fondamentaux.
Problème de la décision: Ce problème, fondamental en logique, est de trouver une méthode générale pour savoir si un énoncé d’une théorie est démontrable ou pas, ce qui permettrait par exemple d’orienter certaines recherches ou les stopper.
Logique aristotélicienne (logique classique): Elle traite d’emboîtement de concepts au moyen de syllogismes (e.g. Socrate est un homme, or tous les hommes sont mortels, donc Socrate est mortel). C’est une logique des classes, qu’Aristote nomme terme.
Aristote partait de trois principes fondamentaux:
Extension: l’extension d’un terme décrit la grandeur de la collection correspondante. On distingue :
Quand un terme x est inclus dans un terme y, x est dit espèce et y est dit genre. Le terme de plus grand extension possible est être.
Compréhension: ensemble de tous les caractères communs à tous les individus appartenant à la classe désignée par le terme. Plus l’extension d’un terme est grande, plus sa compréhension est petite et inversement. Un terme se définit par son genre prochain et sa différence spécifique.
Proposition: une proposition possède deux propriétés : sa qualité (affirmative ou négative) et sa quantité (universelle ou particulière). On obtient ainsi quatre propositions possibles:
Affirmatives Universelles A | ⇐ contraires ⇒ | Négatives Universelles E | ||
⇑ Subalternes ⇓ |
⇖ | ⇗ |
⇑ Subalternes ⇓ |
|
Contradictoires | ||||
⇙ | ⇘ | |||
Affirmatives Particulières I | ⇐ subcontraires ⇒ | Négatives Particulières O |
Oppositions:
Conversion: consiste à inverser le sujet et le prédicat. Celle-ci est possible sans changer la qualité ou la quantité à partir de propositions en E ou I ou si la proposition de départ est en A la converse est en I. dans le cas d’une proposition en O la converse est une proposition indéfinie en I (quelques x sont non y) sur laquelle on fait une conversion simple (quelques non y sont x).
Syllogisme: discours par lequel certaines choses étant posées, quelque chose d’autre en résulte du seul fait de ces données.
Tout y est zLes deux premières propositions constituent les prémisses, la dernière proposition constitue la conclusion. Le terme de plus grande extension est le grand terme (z), le terme d’extension intermédiaire est le moyen-terme (y), celui de plus petite extension est le petit terme (x).
Règles concernant les propositions:
Modes du syllogisme: il existe 256 formes possibles de syllogismes. Parmi ceux ci seuls 24 respectent les règles cités plus haut : ce sont les modes concluant du syllogisme.
Ces modes concluants sont répartis en quatre figures suivant la place du moyen-terme dans les prémisses (sujet ou prédicat) ; chaque figure contient 6 modes:
Figure |
Place du moyen terme dans |
formule |
|
La majeure |
La mineure |
||
I |
Sujet |
Prédicat |
SP |
II |
Prédicat |
prédicat |
PP |
III |
sujet |
Sujet |
SS |
IV |
prédicat |
sujet |
PS |
Figure |
Modes |
|||||
I |
AAA |
AAI |
EAE |
EAO |
AII |
EIO |
II |
EAE |
EAO |
AEE |
AEO |
EIO |
AOO |
III |
AAI |
IAI |
AII |
EAO |
OAO |
EIO |
IV |
AAI |
AEE |
AEO |
IAI |
EAO |
EIO |
Les modes en gras sont les plus puissants, les autres n’ayant guère d’intérêts.
Logique stoïcienne: Celle ci porte sur des implications de relations temporelles (e.g. si cette femme a du lait c’est qu’elle a enfanté), c’est à dire sur les rapports de nécessité entre un antécédent et un conséquent.
Pour les stoïciens il n’existe que des individus, le concept général est un mot vide, et c’est pour cela que leur logique ne traite pas d’emboîtements de concepts généraux.
Propositions stoïciennes:
Un raisonnement stoïcien est composé d’une majeur, d’une mineur et d’une conclusion (e.g. s’il fait jour il fait clair, or il fait jour, donc il fait clair) ; à noter que même s’il ressemble à un syllogisme aristotélicien, il s’en distingue comme étant une implication d’événements, et non de concepts.
Un raisonnement est concluant lorsqu’il conduit à une conclusion de façon spécifique (e.g. il est faux qu’il fasse à la fois jour et nuit, or il fait jour donc il ne fait pas nuit) ; ils sont non concluants lorsque le contraire de la conclusion ne s’oppose pas aux prémisses (e.g. s’il fait jour il fait clair, or il fait jour donc Dion se promène)
Opérateurs: négation, conjonction, disjonction, implication et équivalence.
Opération |
symbole |
lecture du symbole |
Négation |
P barre |
Non-p |
Conjonction |
p.q |
p et q |
Disjonction |
p∨q |
p ou q |
implication |
p⊃q |
p implique q |
équivalence |
p≡q |
p équivaut q |
Tables de vérité:
P |
Non p |
1 |
0 |
0 |
1 |
p q |
p.q |
p∨q |
p⊃q |
p≡q |
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Axiomatisation: Pour que le calcul logique constitue une théorie fermée, il faut le doter d’EBF fondamentales et de règles qui permettent:
Plusieurs systèmes d’axiomes sont possibles. Il faut tenir compte de leur compatibilité, leur cohérence, leur indépendance, du caractère complet du système, etc.
Logique à plusieurs valeurs: Les logiques à deux valeurs supposent le principe du tiers exclu. On peut construire une logique à plusieurs valeurs (e.g. 3) qui nierait le principe du tiers exclu et introduirait à coté des valeurs vrai (1) et faux (0) une valeur ni vrai ni faux (1/2).
Variable: noté x, y, z, etc. elles ne forment pas en elles mêmes une classe
Fonction logique: expression faite d’éléments dont un au moins est une variable. Si x possède la propriété f: on écrit f(x) ; f(x) est une fonction propositionnelle. Toute les déterminations de la variable x qui vérifie f(x) forment un ensemble que l’on appelle une classe.
Extension d’une fonction propositionnelle: soit f(x), x ∈ D, f(x) peut définir les sous ensembles suivants sur D :
On introduit de ce fait les quantificateurs universels (∀ ) et d’existence (∃)